La sucesión de Fibonacci
Una sucesión matemática es una aplicación definida sobre los números naturales. Esto, en castellano, quiere decir que es una serie de números que se genera aplicando determinadas reglas.
Una sucesión de Fibonacci es aquella cuya ley de recurrencia es:
an = an-1 + an-2
Una sucesión de Fibonacci es aquella cuya ley de recurrencia es:
an = an-1 + an-2
donde:
- an es el término en posición "n"
- an-1 es el término anterior (n-1)
- an-2 es el anterior a ese (n-2)
Es decir, cada término de la sucesión se obtiene sumando los dos anteriores. Para empezar a construirla necesitamos, por tanto, dos números de partida, a1 y a2. De esta forma, a3 sería a2 + a1 ; a4 sería a3 + a2 y así sucesivamente.
La más conocida es la que tiene a1 = 1 y a2 = 1, cuyos términos son:
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 ...
números que son conocidos como Números de Fibonacci.
Los términos de cualquier sucesión de Fibonacci tienen la particularidad de que el cociente entre dos términos consecutivos se aproxima al Número de Oro (1.6180339887499...), es decir, el límite de los cocientes an+1/an tiende al Número de Oro cuando n tiende a infinito.
Además, las series de Fibonacci cumplen otras curiosas propiedades, como por ejemplo, que la suma de n términos es igual al término n+2 menos uno:
a1 + a2 + a3 + a4 + ..... + an-1 + an = an+2 - 1
La sucesión de Fibonacci aparece en su obra Liber Abaci como solución al problema del crecimiento de una población de conejos. Supongamos que una pareja de conejos, tras haber alcanzado su madurez sexual, se reproduce para dar lugar a otra pareja de conejos al mes. Supongamos también que los conejos alcanzan su madurez al cabo de dos meses. Empezando con una pareja de conejos recién nacidos, se plantea el problema de describir el crecimiento de la población de conejos en meses sucesivos.
Al final del primer mes, hay una pareja. Al final del segundo mes, todavía hay una pareja, que ya ha madurado. Al final del tercer mes, la pareja ha producido una nueva pareja, de modo que ahora hay dos parejas. Al final del cuarto mes, la primera pareja ha producido otra nueva pareja mientras que la segunda pareja ha madurado, de modo que ahora ya hay tres parejas.
La más conocida es la que tiene a1 = 1 y a2 = 1, cuyos términos son:
Los términos de cualquier sucesión de Fibonacci tienen la particularidad de que el cociente entre dos términos consecutivos se aproxima al Número de Oro (1.6180339887499...), es decir, el límite de los cocientes an+1/an tiende al Número de Oro cuando n tiende a infinito.
Además, las series de Fibonacci cumplen otras curiosas propiedades, como por ejemplo, que la suma de n términos es igual al término n+2 menos uno:
a1 + a2 + a3 + a4 + ..... + an-1 + an = an+2 - 1
La sucesión de Fibonacci aparece en su obra Liber Abaci como solución al problema del crecimiento de una población de conejos. Supongamos que una pareja de conejos, tras haber alcanzado su madurez sexual, se reproduce para dar lugar a otra pareja de conejos al mes. Supongamos también que los conejos alcanzan su madurez al cabo de dos meses. Empezando con una pareja de conejos recién nacidos, se plantea el problema de describir el crecimiento de la población de conejos en meses sucesivos.
Al final del primer mes, hay una pareja. Al final del segundo mes, todavía hay una pareja, que ya ha madurado. Al final del tercer mes, la pareja ha producido una nueva pareja, de modo que ahora hay dos parejas. Al final del cuarto mes, la primera pareja ha producido otra nueva pareja mientras que la segunda pareja ha madurado, de modo que ahora ya hay tres parejas.
Siguiendo de esta forma se advierte que la sucesión numérica de fibonacci describe la población de conejos en meses consecutivos.
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